문서의 임의 삭제는 제재 대상으로, 문서를 삭제하려면 삭제 토론을 진행해야 합니다. 문서 보기문서 삭제토론 베셀 함수 (문단 편집) == 상세 == 위 미분방정식을 다시 쓰면 {{{#!wiki style="text-align: center" [br] [math(\displaystyle \frac{\mathrm{d}^{2}y}{\mathrm{d}x^{2}}+\frac{1}{x} \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}+\frac{x^{2}-n^{2}}{x^{2}}y=0 )]}}} 이 되므로 [math(x=0)]에서 정칙 특이점을 갖는다. 따라서 이 미분방정식은 프로베니우스의 해법으로 풀 수 있으며, 해의 모양을 {{{#!wiki style="text-align: center" [br] [math(\displaystyle y(x)=\sum_{m=0}^{\infty} a_{m}x^{m+r} )]}}} 으로 쓸 수 있다. 이것을 원래의 미분방정식에 대입하면 {{{#!wiki style="text-align: center" [br] [math(\displaystyle \sum_{m=0}^{\infty} a_{m}(m+r)(m+r-1) x^{m+r}+\sum_{m=0}^{\infty} a_{m} (m+r) x^{m+r}+\sum_{m=0}^{\infty} a_{m}x^{m+r+2}-\sum_{m=0}^{\infty} a_{m}n^{2}x^{m+r}=0 )]}}} 이 되고, 최저차항의 계수를 비교함으로써 다음을 얻는다. {{{#!wiki style="text-align: center" [br] [math(\displaystyle a_{0}[r(r-1)+r-n^{2}]=0 )]}}} 위 식이 일반적으로 성립하려면 [math(r= \pm n)]이어야 한다. 원래 프로베니우스의 해법을 적용할 때는 이 [math(r)]값들의 차의 유형을 조사해야 하나, 일단 이를 나중으로 미루고 우선 더 큰 값인 [math(r=n)]을 대입하여 식을 정리하면 계수에 대한 점화식을 얻을 수 있다. {{{#!wiki style="text-align: center" [br] [math(\displaystyle \sum_{m=0}^{\infty} a_{m} m(m+2n)x^{m+n}+\sum_{m=2}^{\infty} a_{m-2} x^{m+n}=0 )]}}} 이에 [math(a_{n})]에 대한 점화식을 얻는다. {{{#!wiki style="text-align: center" [br][math(\displaystyle a_{m+2}=-\frac{1}{(m+2)(m+2n+2)}a_{m} )]}}} 그러면 [math(a_{1})]에 대해선 {{{#!wiki style="text-align: center" [br] [math(\displaystyle a_{1}(1+2n) =0 )]}}} 이 되고, [math(n \geq 0)]임을 고려하면 [math(a_{1}=0)]을 얻는다. 따라서 우리는 홀수 차수 항의 계수는 고려할 필요 없이 짝수 차수 항만 고려하면 되므로 {{{#!wiki style="text-align: center" [br] [math(\displaystyle m = 2s \quad (s=0,\,1,\,2,\,3,\, \cdots) )]}}} 로 쓰자. 그러면 위 점화식은 {{{#!wiki style="text-align: center" [br] [math(\displaystyle a_{2s+2}=-\frac{1}{2^{2}(s+1)(s+n+1)}a_{2s} )]}}} 로 쓸 수 있고, 따라서 짝수차 계수에 대한 일반항 {{{#!wiki style="text-align: center" [br] [math(\displaystyle a_{2s}=\frac{(-1)^{s}}{2^{2s}s!\cdot(s+n)(s+n-1)(s+n-2) \cdots (n+1) }a_{0} )]}}} 을 얻는다. 여기서 [[감마 함수]]의 성질 [math(\Gamma(t+1)=t\Gamma(t))]를 사용하면 {{{#!wiki style="text-align: center" [br] [math(\displaystyle \begin{aligned} \Gamma(s+n+1)&= (s+n)(s+n-1)(s+n-2) \cdots (n+1) \Gamma(n+1) \\ \therefore \frac{\Gamma(s+n+1)}{\Gamma(n+1)}&=(s+n)(s+n-1)(s+n-2) \cdots (n+1) \end{aligned} )]}}} 을 얻는다. 따라서 위 일반항에 대입하면 다음과 같다. {{{#!wiki style="text-align: center" [br] [math(\displaystyle a_{2s}=\frac{(-1)^{s} \Gamma(n+1)}{2^{2s}s!\cdot\Gamma(s+n+1) }a_{0} )]}}} 이때 [math(\displaystyle a_{0}=[{2^{n}\Gamma(n+1)}]^{-1} )]으로 택하면 다음을 얻는다. {{{#!wiki style="text-align: center" [br][math(\displaystyle y(x)=\sum_{s=0}^{\infty} \frac{(-1)^{s}}{s!\cdot\Gamma(s+n+1) } \left( \frac{x}{2} \right)^{2s+n} )]}}} 으로 쓸 수 있는데, 이것을 [math(y(x) := J_{n}(x))]로 정의하고, 이를 '''[math(\boldsymbol{n})]차 제1종 베셀 함수(Bessel function of the first kind of order [math(\boldsymbol{n})])'''라 한다. 참고로 [math(n)]이 정수일 때 다음과 같이 적분 꼴로 나타낼 수 있다. {{{#!wiki style="text-align: center" [br] [math(\displaystyle J_{n} (x) = \frac{1}{\pi} \int_{0}^{\pi} \cos (x \sin \theta - n\theta)\, \mathrm{d}\theta )]}}} 또한, [math(n=1/2)]일 때는 {{{#!wiki style="text-align: center" [br] [math(\displaystyle J_{1/2}(x)=\sqrt{\frac{2}{\pi x}}\sin{x} )]}}} 임을 쉽게 증명할 수 있다. [math(n=k/2\,(k=1,\,2,\,3,\,\cdots))]일 때의 제1종 베셀 함수는 아래의 [[베셀 함수#s-3.5|재귀 관계]] 문단의 관계식을 이용하면 구할 수 있다. 다시 본론으로 돌아오자. 베셀의 미분방정식은 2계 선형 상미분방정식이기 때문에 선형 독립인 해는 2개이다. 따라서 [math(r=-n)]일 때도 동일한 과정을 거치면 {{{#!wiki style="text-align: center" [br] [math(\displaystyle J_{-n}(x)=\sum_{s=N}^{\infty} \frac{(-1)^{s}}{s!\cdot\Gamma(s-n+1) } \left( \frac{x}{2} \right)^{2s-n} )]}}} 임을 구할 수 있다. 여기서 [math(N)]은 [math(s-n+1>0)]을 만족시키는 최소의 [math(s)]값이다. [math(-n=-1/2)]일 때는 {{{#!wiki style="text-align: center" [br] [math(\displaystyle J_{-1/2}(x)=\sqrt{\frac{2}{\pi x}}\cos{x} )]}}} 임을 쉽게 증명할 수 있으며, [math(-n=-k/2\,(k=1,\,2,\,3,\,\cdots))]일 때의 제1종 베셀 함수는 마찬가지로 [[베셀 함수#s-3.5|재귀 관계]] 문단을 참고하라. 따라서 베셀 미분방정식의 일반해를 {{{#!wiki style="text-align: center" [br] [math(\displaystyle y(x)=c_{1}J_{n}(x)+c_{2}J_{-n}(x) )]}}} 로 쓸 수 있다. '''단, [math(\boldsymbol{n})]이 정수가 아닐 때'''만 위와 같이 표현 가능하다. 왜냐하면 [math(n)]이 정수일 경우 [math(N=n)]이 되고 {{{#!wiki style="text-align: center" [br] [math(\displaystyle \begin{aligned} J_{-n}(x)&=\sum_{s=N}^{\infty}\frac{(-1)^{s}}{s!\cdot\Gamma(s-n+1)}\left(\frac{x}{2}\right)^{2s-n}\\ &=\sum_{s=n}^{\infty}\frac{(-1)^{s}}{s!\cdot\Gamma(s-n+1)}\left(\frac{x}{2}\right)^{2s-n}\\ &=\sum_{k=0}^{\infty}\frac{(-1)^{k+n}}{(k+n)!\cdot\Gamma(k+1)}\left(\frac{x}{2}\right)^{2k+n}\\ &=(-1)^{n}\sum_{k=0}^{\infty}\frac{(-1)^{k}}{k!\cdot\Gamma(k+n+1)}\left(\frac{x}{2}\right)^{2k+n}\\ &=(-1)^{n}J_{n}(x) \end{aligned} )]}}} 가 되어 더 이상 [math(J_{-n}(x))]가 선형 독립인 해가 아니기 때문이다. 즉, [math(n)]이 정수일 때는 [math(J_{-n}(x))]를 두 번째 해로 쓸 수 없다. 그래서 수학에서는 {{{#!wiki style="text-align: center" [br] [math(\displaystyle Y_{n}(x)= \frac{ \cos{(n \pi)} J_{n}(x) -J_{-n}(x)}{\sin{(n \pi})} )]}}} 라는 '''[math(\boldsymbol{n})]차 제2종 베셀 함수(Bessel function of the second kind of order [math(\boldsymbol{n})])''' 혹은 '''[math(\boldsymbol{n})]차 노이먼 함수(Neumann function of order [math(\boldsymbol{n})])'''를 정의하였다. 이 함수가 베셀 미분방정식의 두 번째 해가 됨이 알려져 있지만 증명이 만만치 않기 때문에 이 문서에서는 결과만을 기입했다. [math(n)]이 정수일 때는 위 식이 [math(Y_{n}(x)=0/0)] 꼴을 갖기 때문에 아래의 극한 {{{#!wiki style="text-align: center" [br] [math(\displaystyle Y_{n}(x)=\lim_{\nu\to n}\frac{\cos{(\nu\pi)}J_{\nu}(x)-J_{-\nu}(x)}{\sin{(\nu\pi)}})]}}} 으로 정의한다는 것에 유의하라.[* [math(n)]이 정수가 아닐 때 [math(Y_{n}(x))]가 해가 되는 이유는 곧 선형 독립인 두 해 [math(J_{n}(x))]와 [math(J_{-n}(x))]를 선형 결합한 형태를 띄기 때문이다.][* [math(n)]이 정수일 경우에 해가 되는 이유에 대해선 수준상 생략한다. 증명은 [[https://addi.ehu.es/bitstream/handle/10810/17969/Bessel%20Functions_Epelde%20Garc%C3%ADa.pdf?sequence=2&isAllowed=y|여기]]에서 Preposition 2.2를 참고하라.] [math(n)]이 정수인 경우, [[https://ghebook.blogspot.com/2011/12/bessels-differential-equation.html|복잡한 과정]]을 통해 제2종 베셀 함수를 아래와 같이 멱급수 꼴로 나타낼 수 있다. {{{#!wiki style="text-align: center" [br] [math(\displaystyle Y_{n}(x)=\frac{2}{\pi}J_{n}(x)\ln\left(\frac{x}{2}\right)-\frac{1}{\pi}\sum_{s=0}^{n-1}\frac{\Gamma(n-s)}{s!}\left(\frac{x}{2}\right)^{2s-n}-\frac{1}{\pi}\sum_{s=0}^{\infty}(-1)^{s}\frac{\psi(s+1)+\psi(s+n+1)}{s!\cdot\Gamma(s+n+1)}\left(\frac{x}{2}\right)^{2s+n} )]}}} 여기서 [math(\psi)]는 [[감마 함수#디감마 함수|디감마 함수]]이다. 제2종 베셀 함수 또한 [math(n)]이 정수일 때 다음과 같이 적분 꼴로 나타낼 수 있다. {{{#!wiki style="text-align: center" [br] [math(\displaystyle Y_{n}(x)=\frac{1}{\pi}\int_{0}^{\pi}\cos(x\sin\theta-n\theta)\,\mathrm{d}\theta-\frac{1}{\pi}\int_{0}^{\infty}(e^{nt}+(-1)^{n}e^{-nt})e^{-x\sinh{t}}\,\mathrm{d}t )]}}} 따라서 베셀 미분방정식의 일반적인 해는 [math(n)]의 종류를 불문하고 다음과 같다. {{{#!wiki style="text-align: center" [br] [math(\displaystyle y(x)=c_{1}J_{n}(x)+c_{2}Y_{n}(x) )]}}}저장 버튼을 클릭하면 당신이 기여한 내용을 CC-BY-NC-SA 2.0 KR으로 배포하고,기여한 문서에 대한 하이퍼링크나 URL을 이용하여 저작자 표시를 하는 것으로 충분하다는 데 동의하는 것입니다.이 동의는 철회할 수 없습니다.캡챠저장미리보기